El problema de Joomla es que sus tablas no están diseñadas para hacer búsquedas eficientes asi que prácticamente cuando buscas algo hay que "barrer" las tablas secuencialmente, lo cual es casi un pecado capital.
Desconozco tu estructura, pero de entrada 14,000 articulos suenan como "muchos" (que sitio es?), a lo mejor lo que necesitas es poder segregar la cantidad de articulos que se usan en la búsqueda, algo asi como "buscar solo en los articulos de 30 dias a la fecha" o "articulos en X categoria" y considerar respaldar/eliminar los muy antiguos o que ya no sean de utilidad.
Si eres muy valiente y estas dispuesto a meterle mano a las tripas, puedes considerar hacerle modificaciones a la BD de Joomla y crear tu propio componente de Search. De rápido, lo que hay que hacer es agregar un index a la tabla #__content de tipo "fulltext" (
mas informacion aqui) y luego armar un componente que utilice el método ahi descrito para hacer las búsquedas.
OJO: Agregar el indice en la tabla no afecta a Joomla ni sus upgrades, simplemente es un "extra" que te ayudará con lo que necesitas.
